将多边形对角线相连，其对角线最多被分割成多少段？
$$
max=(n^4-6n^3+17n^2-24n)/12
$$
一个圆，一个圆的内接n边形，连接多边形对角线，求整个圆被分割成几块?
$$
max=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24
$$
根号函数的性质：
$$
\sqrt{a+b+c+…}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+…
$$
求$(\sum_{i=1}^mx_i )= k (0≤x_i < n)$的整数解的组数(Character Encoding )
分析后发现答案为$(1+x+x^2+x^3+…+x^n)^m$的展开式中项的次数为k的项的系数，对于n,m,k，有答案：
$$
\sum_{i=0}^{\lfloor{\frac{k}{n}}\rfloor}(-1)^iC_m^iC_{m+k-1-n*i}^{m-1}
$$
多边形公式
$$S=\frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=0}^{n-1}(X_iY_{i+1}-X_{i+1}Y_i)\right|$$
其中是相邻的点，对于n-1的i+1是0代表这第一个点，由于顺时针逆时针会使正负号改变，所以取绝对值。
摆线与圆面积关系
- 摆线留下的面积是圆面积的三倍。
- 它的长度等于旋转圆直径的 4 倍，是 一个不依赖于π的有理数。
摆线定义：摆线(cycloid)是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．
两条直线夹角
$${\left|\frac{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}\right|}$$
素数定理
$$\lim\limits_{n->\infty}\frac{\pi(n)}{n/\ln{n}}$$
描述素数的分布，素数分布规律，以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数发波浪形式渐渐增多。素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 π(n)为小于等于n的素数的个数。
GCD(1)
a> 0；m,n > 0，那么有$$\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$$
GCD(2)
a>b;gcd(a,b)=1,那么$\gcd(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{\gcd(m,n)}-{b^{\gcd(m,n)}} $
GCD(3)
设$$\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$$,那么G的值为
(1)n为素数，那么答案就是n。
(2)n有多个素因子，那么答案就是1。
(3)n只有一个素因子，那么答案就是该因子。
GCD(4)
$$\sum\limits_{i=1}^{N}\gcd(i,N)=\sum\limits_{d|N}dφ(\frac{N}{d})=\sum\limits_{d|N}\frac{N}{d}φ(d)$$
φ(x)为欧拉函数，d是N的质因子
欧拉函数
$\sum_{d|n}\varphi(d)=n $
Fibonacci(1)
设Fn为Fib数，那么有$$\gcd(F_m,F_n) = F_{gcd(m,n)}$$
Fibonacci(2)
给定两个互素的正整数A和B，那么它们最大不能组合的数为A∗B−A−B不能组合的个数为$$num=\frac{(A-1)(B-1)}{2}$$
lcm(1)
$$(n+1)lcm(C_n^0,C_n^1,\cdots,C_n^n)=lcm(1,2,\cdots,n+1)$$
lcm(2)
给一个正整数n，求lcm(1,2,3,⋯,n)lcm(1,2,3,⋯,n)的值，(1<=n<=10^8)
定义L(n)L(n)为1,2,3,……,n的最小公倍数。则可以发现：
$$
L(n+1)=L(n)*p \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 如果(n+1)是p的次方数
$$
$$
= L(n) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 否则
$$
所以有:
L(1) = 1
L(2) = 1 x 2
L(3) = 1 x 2 x 3
L(4) = 1 x 2 x 3 x 2
L(5) = 1 x 2 x 3 x 2 x 5
L(6) = 1 x 2 x 3 x 2 x 5
L(7) = 1 x 2 x 3 x 2 x 5 x 7
φ(ab)和gcd(a,b)的关系
$$
\frac{φ(ab)}{φ(a)φ(b)}=\frac{gcd(a,b)}{φ(gcd(a,b))}
$$