拉格朗日插值法

可以求给定式子的前n项和。

感觉可以求给定式子的前n项和。

如：求3x^5+4x^3-5x+8;

式子中最高项次数为5，则需要先计算出6个数字。

板子的使用：

先调用polysum::init(m); 这里的m要和D一起改，m<D;

然后处理最高次数+1个数字存入b[],然后调用polysum::polysum(k,b,n+1)求得前n项和，k为最高次数。

模板（求n^k的前n项和）：

/**
先调用polysum::init(m); 这里的m要和D一起改，m<D;

然后处理最高次数+1个数字存入b[],然后调用polysum::polysum(k,b,n+1)求得前n项和，k为最高次数。

*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long ll;
namespace polysum {
	#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
	#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
	const int D=51000;
	ll a[D],f[D],g[D],p[D],p1[D],p2[D],b[D],h[D][2],C[D];
	ll powmod(ll a,ll b){ll res=1;a%=mod;assert(b>=0);for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
	ll calcn(int d,ll *a,ll n) { // a[0].. a[d]  a[n]
		if (n<=d) return a[n];
		p1[0]=p2[0]=1;
		rep(i,0,d+1) {
			ll t=(n-i+mod)%mod;
			p1[i+1]=p1[i]*t%mod;
		}
		rep(i,0,d+1) {
			ll t=(n-d+i+mod)%mod;
			p2[i+1]=p2[i]*t%mod;
         }
		ll ans=0;
		rep(i,0,d+1) {
			ll t=g[i]*g[d-i]%mod*p1[i]%mod*p2[d-i]%mod*a[i]%mod;
			if ((d-i)&1) ans=(ans-t+mod)%mod;
			else ans=(ans+t)%mod;
		}
		return ans;
	}
	void init(int M) {
		f[0]=f[1]=g[0]=g[1]=1;
		rep(i,2,M+5) f[i]=f[i-1]*i%mod;
		g[M+4]=powmod(f[M+4],mod-2);
		per(i,1,M+4) g[i]=g[i+1]*(i+1)%mod;
	}
	ll polysum(ll m,ll *a,ll n) { // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]
		ll b[D];
		for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=a[i];
		b[m+1]=calcn(m,b,m+1);
		rep(i,1,m+2) b[i]=(b[i-1]+b[i])%mod;
		return calcn(m+1,b,n-1);
	}
	ll qpolysum(ll R,ll n,ll *a,ll m) { // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]*R^i
		if (R==1) return polysum(n,a,m);
		a[m+1]=calcn(m,a,m+1);
		ll r=powmod(R,mod-2),p3=0,p4=0,c,ans;
		h[0][0]=0;h[0][1]=1;
		rep(i,1,m+2) {
			h[i][0]=(h[i-1][0]+a[i-1])*r%mod;
			h[i][1]=h[i-1][1]*r%mod;
		}
		rep(i,0,m+2) {
			ll t=g[i]*g[m+1-i]%mod;
			if (i&1) p3=((p3-h[i][0]*t)%mod+mod)%mod,p4=((p4-h[i][1]*t)%mod+mod)%mod;
			else p3=(p3+h[i][0]*t)%mod,p4=(p4+h[i][1]*t)%mod;
		}
		c=powmod(p4,mod-2)*(mod-p3)%mod;
		rep(i,0,m+2) h[i][0]=(h[i][0]+h[i][1]*c)%mod;
		rep(i,0,m+2) C[i]=h[i][0];
		ans=(calcn(m,C,n)*powmod(R,n)-c)%mod;
		if (ans<0) ans+=mod;
		return ans;
	}
} // polysum::init();
ll pow2(ll a,ll b)
{
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    ll b[51000];
    b[0]=0;
    polysum::init(50000);
    while(t--)
    {
        ll n,k;
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        for(ll i=1;i<=k+1;i++)
        {
            b[i]=pow2(i,k);
        }
        printf("%lld\n",polysum::polysum(k,b,n+1));
    }
    return 0;
}

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