Harvest of Apples (莫队)

2018-08-09

Harvest of Apples

题意

题意是从n个苹果里面选取最多m个苹果的方案数量。m、n、t<=1e5

思路

莫队分块+组合预处理，原来莫队中的区间[l,r]在这里用n、m代替了。

接下来是推公式部分：

S(n,m)表示 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mC_i^j$

我们可以得出 $S(n,m)=S(n,m-1)+C_n^m$ ,——-①

又因为有 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$ （组合数学的一个基本公式），因此又可以推出： $S(n,m)=S(n-1,m)+S(n-1,m-1)=2S(n-1,m)-C_{n-1}^m$ ——–②

有了①②两个式子，我们就可以得到S(n,m)和S(n-1,m)、S(n+1,m)、S(n,m-1)、S(n,m+1)之间的关系，先预处理出n！和相应的需要的逆元，然后把输入的查询分块，按照代码中所示的“套路”排序法，排一排，然后对于每个n，m开始处理，分四种情况这样。

看！代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
const long long MOD =1e9+7;
typedef long long ll;
ll multi[N];
ll devide[N];
ll ans[N];
ll pos[N];
ll er;
int D=(int)sqrt(1.0*N);
struct node{
    int n,m;
    int id;
    bool operator <(const node& p) const{
        if(pos[n]==pos[p.n]) return m<p.m;
        return n<p.n;                           //N大的排前面
    }
};
node qujian[N];
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得（扩展gcd）
{
	if (a==0&&b==0) return -1;
	if (b==0){x=1;y=0;return a;}
	ll d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}

ll mod_inverse(ll a,ll n)//乘法逆元,n取模
{
	ll x,y;
	ll d = ex_gcd(a,n,x,y);
	return (x%n+n)%n;
}

void init(int n)
{
    multi[0]=1;
    multi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        multi[i]=multi[i-1]*i%MOD;
    devide[n]=mod_inverse(multi[n],MOD);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        devide[i]=devide[i+1]*(i+1)%MOD;
}
ll cal(int n,int m)
{
    return ((multi[n]*devide[m])%MOD*devide[n-m])%MOD;
}
void operation1(int n,int m,ll &res)
{
    res=((2ll*res)%MOD-cal(n,m)%MOD+MOD)%MOD;
}
void operation2(int n,int m,ll &res)
{
    res=(res+cal(n-1,m))%MOD*er%MOD;
}
void operation3(int n,int m,ll &res)
{
    res=(res+cal(n,m+1))%MOD;
}
void operation4(int n,int m,ll &res)
{
    res=(res-cal(n,m)+MOD)%MOD;
}
int main()
{
    init(100000);
    int t;
    int n,m;
    er=mod_inverse(2ll,MOD);
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d",&qujian[i].n,&qujian[i].m);
        qujian[i].id=i;
        pos[i]=i/D;
    }
    sort(qujian+1,qujian+t+1);
    int curl,curr;
    curl=curr=1;
    ll res=2;
    for(int j=1;j<=t;j++)
    {
        while(curl<qujian[j].n) operation1(curl++,curr,res);
        while(curr<qujian[j].m) operation3(curl,curr++,res);
        while(curl>qujian[j].n) operation2(curl--,curr,res);
        while(curr>qujian[j].m) operation4(curl,curr--,res);
        ans[qujian[j].id]=res;
    }
    for(int i=1;i<=t;i++)
        printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}